謎だらけの「古代ローマの発明王・ヘロン」の定理が美しいほどに簡潔…「ピタゴラスをも凌駕する」その価値は「一般性」にあった

科学論

2025.01.05

紀元前6世紀のピタゴラスにはじまり、デモクリトス、ヒッポクラテス、アリストテレス、アルキメデス、ストラトン、クテシビオス、ウィトゥルウィウスに引き継がれた紀元前の古代ギリシャ時代に確立されて、二千数百年を経た現在においても、数学、科学、技術、医学の分野で“現役”として活躍しているものは少なくない。

古代ギリシャの偉大な師、先輩たちの業績を集約し、純粋数学、物理学分野の業績のみならず、さまざまな分野のさまざまな装置を発明したのがヘロンである。彼の時代にもし、現代の特許制度のようなものが存在したならば、ヘロンは幾百の特許権を所有し、“発明王”とよばれたことであろう。

ヘロンの生没年には諸説あり、よくわかっていない。

一般に「クテシビオスの弟子」といわれているので、クテシビオスが生存した紀元前3世紀から紀元前2世紀以降の人物と考えられている。ただし、“弟子”といっても直弟子なのか孫弟子なのかがはっきりしないので、ここでは“紀元元年前後の人物”としておきたい。

まず、ヘロンの数学分野における業績として、三角形の面積を求める「ヘロンの公式」を紹介しよう。

三角形に関する定理として最も有名なのは、誰でも知っている「ピタゴラスの定理」であろう。直角三角形の三辺の長さをa、b、c（斜辺）としたとき、

a²＋b²＝c²

が成り立つというものである。式の形から「三平方の定理」ともよばれる。

ヘロンの公式はピタゴラスの定理ほど有名ではないが、直角三角形のように特殊な三角形ではなく、一般的な三角形に関するものである。

数学や物理学の分野では特殊なものよりも一般的なもののほうに価値がある。かのアインシュタインが「特殊相対性理論」から「一般相対性理論」の確立まで10年の歳月を費やしたのもそのためである。

ヘロンの公式は、三辺の長さがa、b、cの任意の三角形の面積（T）は「s＝(a+b+c)/2」とおけば、

T＝√s(s-a)(s-b)(s-c)

で与えられるというものである。

私は、ピタゴラスの定理やヘロンの公式のようなきわめて簡潔な式を見るたびに感動するのであるが、読者のみなさんはいかがであろうか。

ピタゴラスの定理の証明も決して簡単というわけではないが、ヘロンの公式の証明は三角比や余弦定理、因数分解を使わなければならず、少々やっかいである。

じつは、「ヘロンの公式」そのものは、アルキメデスも、あるいはそれ以前のピタゴラスも知っていたのではないかという説もある。

しかし、「証明」を著書『メトリカ』の中にはっきりと記述していることから、この公式に「ヘロン」の名が冠せられている。

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今回ご紹介した“神秘の発明王”の異名をとるヘロン。なんと、彼は、今から2000年も前に「エンジンの原理」を確立していました。